Math

Math Kingdom (Japanese only)

One of my hobbies was making math quizzes when I was a student.

Problem 1. Plane geometry
$AC=6, BC=3$ の $\triangle ABC$ で辺 $AC$ を $2:1$ に内分する点を $D,$ 辺 $BC$ を $1:4$ に外分する点を $E$ とする. $AD=DE$ のとき $BD$ の長さを求めよ.
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Problem 2. Expressions
次のような式が成り立つとき, $a$ の値を求めよ
$\begin{align*}\frac{x-y+2}{y-z}&=\frac{y-z+3}{z-x}=\frac{z-x-a}{x-y}\end{align*}$
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Problem 3. Plane geometry
$\triangle ABC$ において, 辺 $AC, BC$ 上に点 $D, E$ を取る. このとき
$\begin{align*}\quad \angle ABD: \angle CBD=3:1, \quad AB=DE=EC, \quad DB=DC\end{align*}$
が成り立つ. $\angle BAC$ の大きさを求めよ.
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Problem 4. Quadratic functions
頂点 $(x, y)=(p, q)$ の2次関数 $y$ がある.
$\begin{align*}y&=ax^{2}-a\left( a^{2}-6a-13 \right) \left( 2x-a^{2}+6a+13 \right) +a^{2}-5a-12 \qquad \left( p \leqq x \leqq q \right) \end{align*}$
$y$ の最大値が $0$ のとき $(p, q)$ を求めよ.
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Problem 5. Nested radicals
$a, b$ を正の有理数として二重根号 $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ が外せる条件を示せ.
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Problem 6. Algebra and geometry
長さが $2, 6, 7, 9$ の４つの線分で, 円に内接する四角形 $ABCD$ を作る. 対角線の交点を $E$ とするとき, $\sin \angle AEB$ の最大値を求めよ.
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Problem 7. Algebra and geometry
外接円の半径が $5/2,$ 内接円の半径が $1$ の $\triangle ABC$ について, $AB \cdot BC \cdot CA=60$ のとき, $\triangle ABC$ の各辺の長さを求めよ.
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Problem 8. Degree-7 equations
複素数の範囲まで考えて, 以下の方程式の解を求めよ.
$128x^{7}+64x^{6}-224x^{5}-112x^{4}+104x^{3}+52x^{2}-6x-3=0$
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Problem 9. Plane geometry
$AB=AC$ の $\triangle ABC$ の辺 $BC$ 上に $AD+DC=BD$ となるように点 $D$ を取った. $\angle ADB$ の大きさを求めよ.
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Problem 10. Number theory
ある整数 $A$ は $2$ で割ると $1$ 余り, かつ $3$ で割ると $2$ 余り, $\cdots$ かつ $n$ で割ると $n-1$ 余る. $\left( n \geqq 2 \right)$
$\left( 1 \right) A$ を自然数として, その例をひとつ示せ
$\left( 2 \right) \left| A \right|$ が最小となる $A$ を求めよ.
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Problem 11. Number theory
$k$ を $\left| k \right| \geqq 2$ を満たす整数とし, $A\left( k \right) =\displaystyle \sum_{n=0}^{ \infty }k^{-n}$ とする. $\max A-\min A$ を求めよ.
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Problem 12. Number theory
自然数 $N$ に対して, 各桁の和を $S_{1}\left( N \right)$ とおく. $S_{1}\left( S_{1}\left( N \right) \right)$ を $S_{2}\left( N \right)$ とおく. $S_{n}\left( N \right)$ は同様の操作を $n$ 回したことを表す. $S_{n}\left( 2004^{n} \right)$ が取りうる値を全て求めよ. ただし $n$ は自然数.
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Problem 13. Number theory
各位に $0$ を含まないような自然数の集合を $\mathbf{S}$ とし, $\mathbf{S}$ の要素のうち各位の和が $n$ になるものの個数を $S\left( n \right)$ で表す. $S\left( 15 \right)$ を求めよ.
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Problem 14. Vectors
こちらの用意した解答が間違えで, さらにこの問題は有名な問題らしいので取りやめます. 東北大の入試にも出たことがあるらしいので気になる方は「フェルマー点」について調べてみてください.
Problem 15. Functions
以下の条件を満たす実数値連続関数 $f\left( x \right)$ を全て求めよ.
$f\left( x+y \right) +f\left( x-y \right) =2f\left( x \right) +2f\left( y \right)$
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Problem 16. Expected value
選択式の問題がある. これは $n$ 個の解答欄に $n+k$ 個の選択肢の中から答えを選び記入していくタイプで答えに重複はないものとする. 出題の傾向などは無視することにして, 全く解答の検討がつかない場合, 得点の期待値を最大にする回答方法を示せ.
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Problem 17. Number theory
$7493x+5273y=2006$ を満たす整数 $x, y$ に対し $\left| x+y \right|$ の最小値を求めよ.
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Problem 18. Number theory
$a, b$ を互いに素なある定まった自然数とする. $0$ 以上の整数 $x, y$ を用いて整数 $k=ax+by$ を考える. $k$ で表せない自然数の個数 $S\left( a, b \right)$ を求めよ
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Problem 1. Plane geometry

Problem 2. Expressions

Problem 3. Plane geometry

Problem 4. Quadratic functions

Problem 5. Nested radicals

Problem 6. Algebra and geometry

Problem 7. Algebra and geometry

Problem 8. Degree-7 equations

Problem 9. Plane geometry

Problem 10. Number theory

Problem 11. Number theory

Problem 12. Number theory

Problem 13. Number theory

Problem 14. Vectors

Problem 15. Functions

Problem 16. Expected value

Problem 17. Number theory

Problem 18. Number theory

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